Simplification

 

सरलीकरण (Simplification)

किसी गणितीय व्यंजक को साधारण भिन्न या संख्यात्मक रूप में बदलने की प्रक्रिया ‘ सरलीकरण ’ कहलाती है । इसके अन्तर्गत गणितीय संक्रियाओं ; जैसे जोड़ , घटाव , गुणा , भाग आदि को BODMAS क्रम के आधार पर हल करते हुए दिए गए व्यंजक का मान प्राप्त किया जाता है ।

कोष्ठक चार प्रकार के होते हैं -

1 . ― → रेखा कोष्ठक ( Line Bracket )

2 . ( ) → छोटा कोष्ठक ( Simple or Small Bracket )

3 . { } → मझला कोष्ठक ( Curly Bracket )

4 . [ ] → बड़ा कोष्ठक ( Square Bracket )

इनको इसी क्रम में सरल करते हैं ।

 यदि कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न हो , तो सरल करने पर अन्दर के सभी चिह्न बदल जाते हैं ।

BODMAS का नियम

B → कोष्ठक ( Bracket ) रेखा कोष्ठक , छोटा कोष्ठक , मझला कोष्ठक , बड़ा कोष्ठक

O → का ( Of )

D → भाग ( Division )

M → गुणा ( Multiplication )

A → योग ( Addition )

S → अन्तर ( Subtraction )

उपरोक्त क्रम के अलावा व्यंजकों के सरलीकरण में विभिन्न बीजगणितीय सूत्रों का भी प्रयोग किया जाता है ।

सरलीकरण हेतु महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएं

• उभयनिष्ट गुणक

  ❍ c(a+b) = ca + cb

• द्विपद का वर्ग

  ❍ (a+b)² = a² + 2ab + b²
  
  ❍(a-b)² = a² - 2ab + b²

• दो पदों के योग एवं अन्तर का गुणनफल (वर्गान्तर सूत्र)

  ❍ a² - b² = (a+b) (a-b)

• अन्यान्य सर्वसमिकाएँ(घनों का योग व अंतर)

  ❍ a³ - b³ = (a-b) (a² + ab + b²)
  
  ❍ a³ + b³ = (a+b) (a² - ab + b²)

• द्विपद का घन

  ❍ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  
  ❍ (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

• बहुपद का वर्ग

  ❍ (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

• दो द्विपदों का गुणन जिनमें एक समान पद हो

  ❍ (x + a )(x + b ) = x² + (a + b )x + ab

• गाउस (Gauss) की सर्वसमिका

  ❍a³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c) (a² + b² + c² - ab -bc - ca)

• लिगेन्द्र (Legendre) सर्वसमिका

  ❍ (a+b)² + (a-b)² = 2(a² + b²)
  
  ❍ (a+b)² - (a-b)² = 4ab)
  
  ❍ (a+b)⁴ - (a-b)⁴ = 8ab(a² + b²)

• लाग्रेंज (Lagrange) की सर्वसमिका

  ❍ (a² + b²)(x² + y²) = (ax + by)² + (ay - bx)²
  
  ❍ (a² + b² + c²) (x² + y² + z²) = (ax + by + cz)² + (ay - bx)² + (az - cx)² + (bz - cy )²

H.C.F. and L.C.M.

 

महत्तम समापवर्तक एवं लघुत्तम समापवर्त्य (H.C.F. and L.C.M. )

महत्तम समापवर्तक - ‘ महत्तम समापवर्तक ’ वह अधिकता संख्या है , जो दी गई संख्याओं को पूर्णतया विभाजित करती है । जैसे - संख्याएँ 10 , 20 , 30 का महत्तम समापवर्तक 10 है ।

समापवर्तक ( Common Factor ) - ऐसी संख्या जो दो या दो से अधिक संख्याओं में से प्रत्येक को पूरी - पूरी विभाजित करें , जैसे - 10 , 20 , 30 का समापवर्तक 2 , 5 , 10 है ।

लघुत्तम समापवर्त्य - दो या दो से अधिक संख्याओं का ‘ लघुत्तम समापवर्त्य ’ वह छोटी - से - छोटी संख्या है , जो उन दी गई संख्या में से प्रत्येक से पूर्णतया विभाजित हो जाती है । जैसे - 3 , 5 , 6 का लघुतम समापवर्त्य 30 है , क्योंकि 30 को ये तीनों संख्याएँ क्रमशः विभाजित कर सकती हैं ।

समापवर्त्य ( Common Multiple ) - एक संख्या जो दो या दो से अधिक संख्याओं में । से प्रत्येक से पूरी - पूरी विभाजित होती हो , तो वह संख्या उन संख्याओं की समापवर्त्य कहलाती है , जैसे - 3 , 5 , 6 का समापवर्त्य 30 , 60 , 90 आदि हैं ।

अपवर्तक एवं अपवर्त्य ( Factor and Multiple ) - यदि एक संख्या m दूसरी संख्या n को पूरी - पूरी काटती है , तो m को n का अपवर्तक ( Factor ) तथा n को m का अपवर्त्य ( Multiple ) कहते हैं ।

• महत्तम समापवर्तक ज्ञात करने की विधियाँ

1 . गुणनखण्ड विधि - इस विधि में दी गई सभी संख्याओं के रूढ़ गुणनखण्ड करते हैं । तथा जो संख्याएँ सभी में सर्वनिष्ठ हों उनका गुणा करते हैं ।

जैसे - 28 , 42 और 98 का म.स. -

28	=	2	×	2	×	7
42	=	2	×	3	×	7
98	=	2	×	7	×	7

28 , 42 और 98 का म स. = 2 × 7 = 14

2 . भाग विधि - इस विधि में दी गई संख्याओं में से सबसे छोटी संख्या से उससे बड़ी संख्या में भाग देते हैं , तत्पश्चात् बचे शेष से भाजक में भाग दिया जाता है और यह क्रिया तब तक करते हैं , जब तक शून्य शेष बचे , तब अन्तिम भाजक ही दी हुई संख्याओं का म.स. होगा यदि संख्या तीन हैं , तो प्राप्त म.स. तथा तीसरी संख्या के साथ यही क्रिया करते हैं । आगे इसी तरह करते जाते हैं |

जैसे - 36 , 54 , 81 का म.स. -
सर्वप्रथम 36 तथा 54 का म.स. इस विधि से निकालते हैं ।

36	)	54	(	1
		36
		18	)	36	(	2
				36
				×

अतः 36 तथा 54 का म.स. = 18

अब , 18 तथा 81 का म.स. निकालते हैं ।

18	)	81	(	4
		72
		9	)	18	(	2
				18
				×

अतः 36 , 54 तथा 81 का म.स. 9 है ।

• लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने की विधियाँ

1 . गुणनखण्ड विधि - दी हुई संख्याओं के अभाज्य गुणनखण्ड ज्ञात कर लेते हैं तथा गुणनखण्डों को घात से प्रदर्शित करते हैं , तत्पश्चात् अधिकतम घात वाली संख्याओं का गुणा करते हैं |

जैसे - 16 , 24 , 40 , 42 का ल.स. -

16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴
24 = 3 × 2 × 2 × 2 = 3 × 2³
40 = 5 × 2 × 2 × 2 = 5 × 2³
42 = 7 × 3 × 2 = 7 × 3 × 2

ल.स. = 2⁴ × 3 × 5 × 7 = 16 × 105 = 1680

2 . भाग विधि - इस विधि को निम्न उदाहरण द्वारा समझा जा सकता है ।

उदाहरणार्थ - 36 , 48 और 80 का ल . स . -

2	36 ,	48 ,	80
2	18 ,	24 ,	40
2	9 ,	12 ,	20
2	9 ,	6 ,	10
3	9 ,	3 ,	5
3	3 ,	1 ,	5
5	1 ,	1 ,	5
	1 ,	1 ,	1

अतः 36 , 48 और 80 का ल . स . = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 720

इसमें संख्याओं को उभयनिष्ठ अभाज्य भाजकों द्वारा विभाजित किया जा सकता है तथा इस क्रिया की पुनरावृत्ति तब तक करते हैं जब तक शेषफल एक प्राप्त हो । इन अभाज्य भाजकों का गुणनफल ही अभीष्ट ल.स. होगा ।

• दशमलव संख्याओं का ल . स . तथा म . स . निकालना

दी गई सभी दशमलव संख्याओं को परिमेय संख्या 

pq

के रूप में लिखते हैं तथा भिन्नों के आधार पर उनका ल.स. या म.स. ज्ञात करते हैं |
जैसे - 7 , 10.5 एवं 1.4 का म . स . -

अतः 7 = 

71

, 10.5 = 

10510

 , 1.4 = 

1410

म.स. = 

7 , 105 14 का म.स.1 , 10 , 10 का ल.स.

 = 

710

 = 0.7

• भिन्नों का म.स.प. एवं ल.स.प.

भिन्नों का म.स.प. = 

अंशों का म.स.प.हरों का ल.स.प.

भिन्नों का ल.स.प. = 

अंशों का ल.स.प.हरों का म.स.प.

• महत्त्वपूर्ण सूत्र

यदि किन्हीं संख्याओं में कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड न हो , तो उनका म.स. 1 तथा ल.स. उनका गुणनफल होता है ।

पहली संख्या × दूसरी संख्या = ल.स. × म.स.

 भिन्नों का म.स.प. = 

अंशों का म.स.प.हरों का ल.स.प.

 भिन्नों का ल.स.प. = 

अंशों का ल.स.प.हरों का म.स.प.

PERCENTAGE

 

प्रतिशत ( Percentage ) : Important Facts and Formulas

प्रतिशत - प्रतिशत का अर्थ ( प्रति + शत ) प्रत्येक सौ पर या 100 में से x प्रतिशत का अर्थ 100 में से x

x% = 

x100

 भिन्न 

xy

 को प्रतिशत में बदलने के लिए भिन्न को 100 से गुणा करते है ।

 किसी वस्तु का 

xy

 भाग = उस वस्तु का (

xy

) × 100

कुछ महत्वपूर्ण सूत्र

 x का y प्रतिशत = x × 

y100

 x , y का कितना प्रतिशत है = 

xy

 × 100

 y , x से कितना प्रतिशत अधिक है = 

y - xx

 × 100

 y , x से कितना प्रतिशत कम है = 

x - yx

 × 100

 प्रतिशत वृद्धि = 

वृद्धिप्रारंभिक मान

 × 100

 प्रतिशत कमी = 

कमीप्रारंभिक मान

 × 100

 x को R % बढ़ाने पर , x(1 +

R100

)प्राप्त होगा |

 x को R % घटाने पर , x(1 -

R100

)प्राप्त होगा |

अन्य महत्वपूर्ण सूत्र

 x में y % की वृद्धि होने पर नई संख्या ज्ञात करना = 

100 + y100

 × x

 यदि x का मान y से R% अधिक है तो y का मान x से R % में कम हैं
= ( 

R100 + R

 × 100) %

 यदि x का मान y से R% कम है तो y का मान x से R % में अधिक हैं
= ( 

R100 - R

 × 100) %

 किसी वस्तु के मूल्य में R% वृद्धि होने पर भी वस्तु पर कुल खर्च ना बढ़े इसके लिए
वस्तु की खपत में R% कमी = ( 

R100 + R

 × 100) %

 किसी वस्तु के मूल्य में R% कमी होने पर भी वस्तु पर कुल खर्च ना घटे इसके लिए
वस्तु की खपत में R% वृद्धि = ( 

R100 - R

 × 100) %

 यदि A = x × y तो x में m% परिवर्तन एवं y में n% परिवर्तन के कारण A में प्रतिशत परिवर्तन = m + n + 

mn100

 जहाँ वृद्धि के लिए + एवं कमी के लिए - चिन्ह का उपयोग किया जाएगा ।

जनसंख्या पर आधारित सूत्र

 माना किसी शहर की जनसंख्या x है तथा प्रतिवर्ष R% की दर से बढ़ती हैं तब
n वर्ष बाद जनसंख्या = x[1 + 

R100

]n
n वर्ष पूर्व जनसंख्या = 

x[1 + 

R100

]n

मशीनों के अवमूल्यन संबंधी

 यदि किसी वस्तु का वर्तमान मूल्य x है तथा इसके अवमूल्यन ( मूल्य कम होना ) की दर R% वार्षिक है तो =
1. n वर्ष बाद मशीन का मूल्य = p( 1 - 

R100

)n जहाँ वृद्धि के लिए + एवं कमी के लिए - चिन्ह का उपयोग किया जाएगा ।
2. n वर्ष पूर्व मशीन का मूल्य = 

p(1 + 

R100

)n

ALGEBRA & QUADRATIC EQUATIONS

कक्षा 10 गणित के लिए बीजगणित और द्विघात समीकरणों के सूत्र 

(a+b)2 = a2 + b2 + 2ab

(a-b)2 = a2 + b2 – 2ab

(a+b) (a-b) = a2 – b2

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

(x + a)(x – b) = x2 + (a – b)x – ab

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)

(x – a)(x + b) = x2 + (b – a)x – ab

(x – a)(x – b) = x2 – (a + b)x + ab

(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz

(x + y – z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy – 2yz – 2xz

(x – y + z)2 = x2 + y2 + z2 – 2xy – 2yz + 2xz

(x – y – z)2 = x2 + y2 + z2 – 2xy + 2yz – 2xz

x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz -xz)

x2 + y2 =½ [(x + y)2 + (x – y)2]

(x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b +c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc

x3 + y3= (x + y) (x2 – xy + y2)

x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)

x2 + y2 + z2 -xy – yz – zx = ½ [(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2]